Akademia eTrapez

Edukacja przyszłości dzisiaj

Jesteś tutaj: Główna Akademii / Wybór Kursu / Kurs Liczby Zespolone na Akademii

Kurs Liczby Zespolone na Akademii

Kurs składa się z 8 Lekcji i prawie 5 godzin nagrań video. Dodatkowo do Kursu dołączone są filmiki, artykuły na blogu i inne materiały uzupełniające (w tym filmik o liczbach zespolonych w WolframAlpha).

Lekcja 1 – Wprowadzenie. Podstawowe działania.

Wprowadzenie do liczb zespolonych i podstawowe działania na nich. Na początku pokazuję, co to w ogóle jest liczba zespolona i z czym nie można jej mylić. Lekcja zawiera 31 minut video.

Lekcja składa się z:

Video

  • odpowiedź na pytanie, czym jest liczba zespolona [03:06]
  • wprowadzenie postaci kartezjańskiej/algebraicznej liczby zespolonej [06:38]
  • dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych w postaci kartezjańskiej (przykłady) [12:35]
  • mnożenie liczb zespolonych w postaci kartezjańskiej (przykłady) [15:24]
  • potęgowanie liczb zespolonych w postaci kartezjańskiej (przykłady) [19:53]
  • dzielenie liczb zespolonych w postaci kartezjańskiej (przykład) [23:04]
  • obliczanie modułu liczby zespolonej (przykład) [28:10]

Lekcja 2 – Równania zespolone. Pierwiastki w postaci kartezjańskiej.

Pokazuję na niej, na 6 przykładach, jak rozwiązywać różne typy równań w liczbach zespolonych. Tłumaczę również, jak obliczać pierwiastki drugiego stopnia zespolone (poprzez sprowadzanie ich właśnie do równań zespolonych).

Pokazuję prostą sztuczkę (dodanie trzeciego równania), która pozwala radykalnie uprościć obliczanie pierwiastków w postaci algebraicznej.

Lekcja 2 trwa 34 minuty.

Video

  • równanie zespolone – przykład 1 [01:10]
  • równanie zespolone – przykład 2 [04:56]
  • równanie zespolone – przykład 3 [10:47]
  • równanie zespolone – przykład 4 [13:42]
  • pierwiastek drugiego stopnia – przykład 1 [19:58]
  • pierwiastek drugiego stopnia – przykład 2 [27:55]

Lekcja 3 – Postać trygonometryczna

Pokazuję, jak przechodzić na postać trygonometryczną liczby zespolonej prostą i uniwersalną metodą “na trzy tabelki”. Ta metoda pozwoli Ci “w trzech ruchach” sprowadzić liczbę zespoloną do postaci trygonometrycznej.

Lekcja 3 trwa 20 minut i jest w niej rozwiązanych 5 przykładów krok po kroku.

Video

  • wprowadzenie postaci trygonometrycznej poprzez przedstawienie liczby zespolonej w układzie współrzędnych [02:30]
  • przejście z postaci kartezjańskiej na trygonometryczną – przykład 1 [06:22]
  • przejście z postaci kartezjańskiej na trygonometryczną – przykład 2 [10:32]
  • przejście z postaci kartezjańskiej na trygonometryczną – przykład 3 [12:50]
  • przejście z postaci kartezjańskiej na trygonometryczną – przykład 4 [15:01]
  • przejście z postaci kartezjańskiej na trygonometryczną – przykład 5 [17:05]

Lekcja 4 – Potęgowanie

W tej Lekcji pokazuję, jak podnosić do potęgi liczby zespolone (najczęściej wykorzystując wzór de’Moivra).

Pokazuję również, jak bezboleśnie obliczać sinusy i cosinusy dla dużych argumentów w podnoszeniu liczby zespolonej do potęgi.

Lekcja zawiera 46 minut nagrań video i 4 przykłady rozwiązane krok po kroku. Składa się z:

Video

  • potęgowanie liczb zespolonych w postaci kartezjańskiej [00:36]
  • potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej – wzór Moivra [02:47]
  • obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla dużych kątów [03:53]
  • podnoszenie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej do potęgi – przykład 1 [14:26]
  • podnoszenie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej do potęgi – przykład 2 [21:49]
  • podnoszenie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej do potęgi – przykład 3 [24:32]
  • podnoszenie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej do potęgi – przykład 4 [31:59]
  • stosowalność metody [39:54]
  • przykład na nieadekwatność metody [42:23]

Lekcja 5 – Pierwiastkowanie

Obliczam pierwiastki dowolnego stopnia z liczby zespolonej, przechodząc na postać trygonometryczną.

Pokażę Ci, między innymi, dlaczego znając jeden pierwiastek z liczby zespolonej można szybciutko wyznaczyć pozostałe.

Ta Lekcja trwa 28 minut i pokazuję w niej 5 przykładów. Składa się z:

Video

  • pierwiastki z postaci kartezjańskiej [00:42]
  • wzór na pierwiastki z postaci trygonometrycznej [02:23]
  • obliczania pierwiastków z liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej – przykład 1 [04:31]
  • obliczania pierwiastków z liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej – przykład 2 [13:52]
  • wprowadzenie innego wzoru na liczenie kolejnych pierwiastków [19:39]
  • obliczania pierwiastków z liczby zespolonej – przykład 3 [20:49]
  • obliczania pierwiastków z liczby zespolonej – przykład 4 [24:47]
  • obliczania pierwiastków z liczby zespolonej – przykład 5 [25:50]

Lekcja 6 – Równania wielomianowe. Równania kwadratowe.

Lekcja poświęcona równaniom wielomianowym z liczbami zespolonymi. Zaczynam od “zwyczajnych” równań kwadratowych, z deltą itd.

Przekonasz się, że wielomiany zespolone to tylko jeden malutki kroczek więcej w porównaniu do szkoły średniej.

Ta Lekcja trwa 48 minut i pokazuję temat na 5 wielomianach różnych stopni. Składa się z:

Video

  • pojęcie zespolonego równania wielomianowego [01:02]
  • rozwiązywanie równań drugiego stopnia (trójmianów kwadratowych) przy użyciu współczynnika delta – przykład 1 [02:50]
  • rozwiązywanie równań drugiego stopnia (trójmianów kwadratowych) przy użyciu współczynnika delta – przykład 2 [10:35]
  • rozwiązanie równania trzeciego stopnia rozkładem wielomianu na czynniki – przykład 3 [21:07]
  • rozwiązanie równania czwartego stopnia przy pomocy schematu Hornera – przykład 4 [24:47]
  • rozwiązanie równania szóstego stopnia przy pomocy obliczania pierwiastków – przykład 5 [36:14]

Lekcja 7 – Liczby zespolone na płaszczyźnie

Na tej Lekcji pokazuję, jaka jest interpretacja geometryczna liczby zespolonej i jak zaznaczać na płaszczyźnie liczby zespolone i obszary. Jest to konieczne najczęściej przy rozwiązywaniu nierówności z liczbami zespolonymi.

To video ma 23 minuty i 7 przykładów i zawiera:

Video

  • liczba zespolona na płaszczyźnie [01:28]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 1 [04:49]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 2 [07:49]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 3 [09:23]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 4 [12:34]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 5 [14:43]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 6 [18:02]
  • obszar na płaszczyźnie zespolonej – przykład 7 [20:29]

Lekcja 8 – Postać wykładnicza

Kolejna, rzadziej już używana postać liczby zespolonej to “postać wykładnicza” (z liczbą e). Pokazuję jak na nią przejść i wykorzystać w równaniach zespolonych, w których może być pomocna.

Długość tej Lekcji to 28 minut i 3 przykłady krok po kroku.

Video

  • pojęcie postaci wykładniczej (wzór Eulera) [00:41]
  • równanie zespolone z wykorzystaniem postaci wykładniczej – przykład 1 [02:35]
  • równanie zespolone z wykorzystaniem postaci wykładniczej – przykład 2 [15:24]
  • równanie zespolone z wykorzystaniem postaci wykładniczej – przykład 3 [20:36]